Juan Carlos Vivó Córcoles

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Un sistema formal axiomático parte de una serie de proposiciones aceptadas sin prueba de la que se derivan unos teoremas mediante la aplicación rigurosa de unas reglas de inferencia. De ese modo se logra, partiendo de tales axiomas tomados como veraces (sin necesidad de constatación empírica), dar respuesta a los problemas a los que queramos encontrar una solución. Cualquier cuestión que no se adecue a tales postulados queda fuera del sistema.

El sistema formal axiomático más célebre y que más ha perdurado en el tiempo, inconmovible en sus cimientos hasta el siglo XIX, ha sido la geometría de Euclides. Mediante un conjunto reducido de axiomas se daba explicación a cualquier fenómeno espacial. La imagen del espacio de la que se partía era la de un plano en el cual los postulados de la geometría euclidiana tenían una lógica clara.

Con todo, el V postulado o postulado de las paralelas, concebido como evidente sin prueba e independiente de los demás,  se empezó a ver como el más endeble de todos.  Para que se entienda, del V postulado se derivan concepciones como que dada una recta y trazada una paralela jamás se tocarán en un punto.

En el siglo XIX las investigaciones independientes de Bolyai, Gauss y Lobachevski  o de Riemman dieron al traste con esta construcción intelectual. Euclides partía de un espacio plano. Pero si concibiésemos el mismo como una esfera, por poner un ejemplo, nos encontraríamos con que es posible encontrar excepciones al postulado de las paralelas. ¿Podría ser que no se diese el caso de no poder trazarse paralelas sobre una esfera? Evidentemente. Habría siempre un punto donde se encontrarían dos rectas cualesquiera.

Luego habría una falla en la completitud del sistema euclidiano: el V postulado se puede mantener siempre y cuando lo apliquemos a un espacio plano, no a otro tipo de modelo espacial. Con lo cual no se puede mantener su carácter de axioma. Depende de qué tipo de espacio tengamos como base, de qué modelo usemos.

Los sistemas formales axiomáticos han fascinado al ser humano. Son potentes máquinas de resolución de problemas. Si en la geometría, el siglo XIX supuso la quiebra de la geometría euclidiana, el siglo XX se inició con la matematización de la lógica. El monumento más importante en tal sentido fue los Principia Mathematica de Bertrand Russell y Alfred North Whitehead. Se quería reducir la matemática a la lógica. La lógica, desde una serie finita de reglas sencillas, da respuesta a todo problema matemático. Si el ser humano encuentra misterios irresolubles en este campo se debe a que su capacidad no llega, de momento, a encontrar respuesta a las dificultades planteadas.

En Russell y Whithead asoma también cierta tendencia a la abstracción de la matemática. Poco importa que las matemáticas versen sobre tomates, manzanas o peras. Las matemáticas no son intencionales, no señalan a nada. Viven ensimismadas, sin referencia. También, por irnos al extremo opuesto, hay que alejarse de toda tentación de realismo de los conceptos matemáticos. No existe la entidad matemática  real 5. No existe la entidad matemática “resta”. Por tanto, señor Platón, a callarse y a clausurar el kosmos noetós.

Tuvo que surgir la figura de un oscuro matemático, Kurt Gödel para acabar con el principio de completitud de la aritmética, enmendándole la plana a Russell y Whitehead. En Sobre las proposiciones formalmente indecibles de Principia Mathematica y sistemas afines (1931)  expone sus planteamientos. Elabora un curioso método (la göedelización) por el cual aritmetiza las reglas de la sintaxis matemática. Desde allí demuestra que no hay ningún sistema formal axiomático que con un número finito de axiomas sea completo; problemas sencillos no pueden ser resueltos sólo con axiomas y reglas. Siempre se podría introducir en el sistema un postulado que lo haga saltar por los aires. Con cambiar el modelo que se aplique ya está. Igual que hicieron Gauss o Lobachevski con la geometría euclidiana. Sí es posible, por el contrario, una completitud en sentido débil, aplicada a un determinado ámbito; pero no es posible una conpletitud global que afecte a toda la matemátic. La amplitud de la matemática es mayor que la verdad lógica y, por tanto, irreductible a ésta. No es agotable en los estrictos límites de un sistema formalizado axiomáticamente. La matemática es mucho más flexible que ese corsé tan férreo. Tantos modelos, tantas matemáticas.

Y por qué no, también introducir de nuevo un modo de realismo intencional, que saquen a las matemáticas de su cárcel lógica. Sin caer en concepciones platónicas, de una metafísica extrema de los números, la matemática tiende a lo real.

Pues bien, demostrada, mediante el llamado Teorema de Gödel la incompletitud de la matemática estaremos haciendo un canto a la creatividad. Siempre existirán afirmaciones que serán contradictorias dentro del sistema, pero siempre habrá verdades matemáticas indecibles porque lo real es inagotable y la matemática remite a lo real. No es posible trazar límites a la creatividad de la matemática para la ideación de nuevas reglas de prueba. Por consiguiente, no puede postularse una única descripción definitiva de una forma unívoca de las demostraciones matemáticas, en el caso de Russell y Whitehead, basada en la lógica.

Pues bien, después comprobar que tanto la geometría como la aritmética no pueden reducirse a un sistema formal axiomático, veremos ahora una curiosa aplicación práctica de la crisis de la geometría euclidiana y de la completitud fuerte de la matemática, que es a lo que iba.

Hay quienes defienden que podría entenderse el funcionamiento de la mente en analogía con una máquina calculadora. El cerebro resuelve problemas porque sólo contiene una serie de postulados de los que parte y sólo puede ceñirse a extraer conclusiones por medio de unas reglas que siempre serán las mismas. Pero si esto fuese así, ¿por qué mentimos? No hay que ser muy tontos para darse cuenta de que mentimos.  ¿Qué pasa con la capacidad de mentir? El ser humano es creativo; es capaz de introducir instrucciones contradictorias, de cuestionar de cambiar, de situarse en puntos de vista diferentes para abordar un mismo problema. ¿Sería por tanto reducible la mente humana a una máquina calculadora? ¿El cerebro humano funciona como tal? Trasladando a un Gödel a la filosofía de la mente, no. El cerebro no es una mera máquina de operaciones lógicas solamente. La mente es capaz de resolver cuestiones que van más allá de los estrechos límites de la lógica. La máquina no puede ser mentirosa, no crea más allá de las instrucciones dadas que jamás cuestionará a menos que funcione mal.  El ser humano avanza porque cuestiona constantemente lo que se da por supuesto.

Pero no por ello se ha de cae en un relativismo absoluto. Sólo se critica, trasladando al problema de la mente la imposibilidad de que todas las verdades aritméticas sean demostradas formalmente, la formalización absoluta de los recursos del cerebro humano. Subsiste siempre la posibilidad de encontrar nuevos principios de demostración, nuevos enfoques, distintos métodos. Un intuicionismo absoluto sería, por el contrario, absurdo. Pero también, por incompleto, un funcionamiento meramente formal de la mente. La imaginación tiene su lugar. La intuición también. La voluntad, los sentimientos. En definitiva, que la estructura de la mente es mucho más compleja y sutil que cualquier máquina, aunque ésta pueda ganar al campeón del mundo de ajedrez.

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